Лекция 6: Изоморфизм, гомоморфизм. Алгебры

Лекция 6: Изоморфизм, гомоморфизм. Алгебры

Похожие видео

Описание

Изоморфизм алгебр. Гомоморфизм алгебр. Единица полугруппы. Обратный элемент. Способ задания (полу)групп: с помощью бинарной таблицы и с помощью образующих. Наименьшая верхняя грань, наибольшая нижняя грань. Единственность максимального и единственность минимального элемента. Единица решетки и нуль решетки. Решетка подмножеств любого множества.

Текстовая версия

Знаешь продолжаем разговор об алгебре я алгебра наш прошлый раз мы вели основные! Понятия общей алгебры это понятие алгебры как множество на котором определенные:

Операции и кроме того определили некоторые свойства бинарных операций которыми не могут обладать? Или не обладать что-то ассоциативность коммутативности и дистрибутивность впрочем все эти три свойства.

Известны еще со школы потому что это свойство сложения?

И умножения сейчас мы рассмотрим одно из основных. Понятий не только алгебры но и высшей математике вообще это понятие изоморфизма прежде чем давать определение этого.

Понятия я его поясню таскать схематично значит представим себе что у нас есть две алгебры заранее могу сказать.

Что из-за marchesa это отношение между алгебра my то есть алгебры. Будут изоморфные если они выполняют удовлетворяют каким-то условиям вот об этом я сейчас. Расскажу прежде чем давать точное определение и так пусть у нас есть алгебра а множеством м и операциями которые определены на этом множестве?

Операций обозначим буквой фи есть 2 алгебра. Приемную штуку это же операции значит число операций то же самое и более того сигнатуры этих алгебра совпадают а что такое сигнатура.

Насколько я помню это говорил если нет повторю то есть скажу это последовательность or настей то есть мест числа мест в операции. Мяч и говоря резкий фио1 двухместные то это 2 место весь последующий трехместные.

И это 3 местную и так далее для простоты будем считать что эти множества. Конечны хотят на самом деле небе ты просто для того чтобы не пояснив что я не вот представим. Себе что у нас есть две алгебры а вот это их элементы конечное число а и умы значит так вот изоморфизм.

И то есть пока не даю определение дезоморфин суд и то есть некоторое взаимно однозначное соответствие а следовательно. До конечных алгебра у нас должно быть по местам: Очной стиль взаимно однозначное соответствие между элементами но не только а еще вот такое значит представим.

Себе что мы делаем некоторую ну для примера для конкретных тебе. На армию операцию в этой алгебре начни втрое значит вот один аргумент не скажу вот это не раз это операция то ее значение будет: Тоже некоторый элемент из а то есть эта операция вот эти 2 элемента переводят себя некоторый третий элемент множества теперь?

Значит у нас есть как я сказал отображение этого элемента а этого элемента есть операция psy которые соответствуют этому. Элементу и она тоже какая-то операция только в своей алгебре. Эти два элемента отображает в нефрит реки и при этом оказывается что тот самый элемент который по нашему соответствие гамма:

Соответствует этому элементу иначе говоря насчет диморфизм опять же повторяю пока еще не даю определили изоморфизм. Это такое соответствие между в двух алгебра между элементами и операциями что независимо от того в каком мы порядке сделаем? Вот что мы сделаем операцию и в алгебре а а результат отобразим.

В.б. или сначала аргументы отобразим в сделаем там операцию соответствующей ей и получим значение так вот независимо. От того пойдем и по таскать по левому путь или по правилам мы получим один и тот же результатом что это означает.

И почему это так важно почему то действительно одно из основных понятий: Математики это означает вот что вот эти две алгебры они могут содержать совершенно разные элементы. Например 1 алгебра это числа а другой:

Алгебра ну какие другие абстрактными операция мог быть совсем разными но если мы установили изоморфизм. Это значит что там все равно какой алгебре проводить? Операции либо здесь то есть короче говоря дима вот эту операцию вычисления то есть вот видите у нас появляется вариант.

2 возможности проводить операции либо в этой алгебре провести операцию а потом результата там разительно? Либо войти алгебре то есть начал аргумента отобразить а потом. Уже делать эту операцию же 7 10 где это проще где это удобнее.

По теме причинам то мы это и делаем поэтому математике очень распространена выражения значит 2 алгебры.

Совпадают точностью до изоморфизма а не с точки зрения вот этих операции они как бы не различимы хотя будет иметь разную природу. На самом деле вот с таким изоморфизма мы уже с вами:

Практически встретились хотя там еще не было особых операций но они могли бы быть это когда мы с вами рассматривали соответствие между!

Подмножество и множество и двоичными векторами то есть как вы помните у нас была в качестве примера множество из трех элементов и мы выписали все подмножество:

Ну и так далее так значит пустому соответствовал вектор из трех нулей.

Вот этому элементу соответствовало такой двоих не так то тогда это ты см орфизм и не довели до конца и сейчас. Еще не доведем нам немножко не хватает. Операций на это множестве значит здесь понятно какие операции объединения пресечение дополнения но тем ни менее про одну операцию мы уже можем сказать например.

Если у нас есть подмножество абэ-но дополнение к нему будет понятно сделал подмножество цель так а какой.

Ему вектор shape что это соответствует виктор 001 а что это за операция но через некоторое время на 4 во втором модуле мы эти операции назовем это! На самом деле по разрядные логические операции вот и сейчас можно просто. Сказать что эта операция которая единица заменяет и ну лиану линию единиц так вот здесь смотрите.

Вот либо здесь мы можем делать операцию дополнения а потом перейти к этому вектору.

Либо здесь делать вот эту операцию замены единицы на на 0 и onlayn и единицы и оставьте. Здесь есть это выразить сначала этот вектор сюда потом и делать. Операции здесь отличие этого примера от того что ездят говорил то что это операция бинарная о дополнении.

Операция унарная найди заключать сравнивает вот значит такова суть изоморфизма. А теперь давайте же дадим точное определение точное определение будет некоторая формула который выглядит громоздкой. Но надеюсь что пустил как я все объясню но будет понятно вот изоморфизм.

Это отображение сейчас минуточку вот подождите сейчас начал я выпишу все элементы.

Эти формулы а уж потом дадим определения которые можно записать и так значит имеется отображений во первых элементов множества м-можешь.

Палку и операций хит в операции psy значит вот я стёр потому формула. Будет длинная давайте еще раз я установлю значит у нас есть м.о. значит операциях и и операций. Обсе и так значит что такое вот вот этот путь вниз таскать и направо это вот какой путь мы сначала делаем операцию нет ни в прям элементами а.

1 и 2 получаем результат вот этот и с помощью отображения гамма отображаем его вот а путь сначала направо. А потом вниз что это за путь это вот какой путь это опять делается операция.

Пхи на отображенные элементами итак здесь мы делаем опера операций в алгебре а результаты. Отображаем б а здесь мы сначала аргументы отображаем вкус фбн веков.

Они двое были так значит здесь аргументы отображаем начала множество q а потом над этими элементами начну уже попали в алгебру. Бы делаем операцию затылок и результат совпадает вот собственно это формула.

И есть определение изоморфизм а именно значит 2 алгебры называются изоморфные. Вот теперь это уже определение 2 алгебра называется и домов если существует такое взаимно однозначное.

Соответствие между во-первых элементами носители этих алгебру и во-вторых между операциями: Этих алгебра что имеет место вот такой sadness да конечно значит 2 алгебры называются и за мощными если существует такое взаимно однозначное соответствие гамма. Между элементами носители этих алгебры и операциями!

В этих алгебры такое что им имеет место вот эта формула пепси значит это формула. Здесь имеет недостаточно общий вид тут как бы имеется: Ввиду что эта операция бинарная на самом.

Деле совершенно не обязательно то есть вот эта формула верна для всех операций для любых операций отсюда и для любых элементов хорошо алгебры. А и b называется из аморфными если существует такое взаимно однозначное соответствие между носителями алгебр. М и q и операциями этих алгебру что выполняется.

Вот эту форму до взаимно обогащая соответствия гамма значит. Для конечных алгебры из этого определения следует что мощности равны в этих носителей когда мы с вами занимались соответствиями.

Ты мы установили что если между конечными множестве не существует взаимно значит однозначное соответствие то их мощность. Рамы вот значит мощности равны числу операции одинаково и кроме того or насти соответствующих.

Операций совпадают до ещё раз повторить а вот это последнее для конечных множеств с конечным числом операции. Начнется из изоморфизм возможным только если мощности равной число операции совпадает и or насти соответствующих: Операций то есть число аргументов просто падает есть это определение давать совсем?

В общем виде но тогда значит во первых эти индексы не обязательно равны они могут быть пронумерованы по другому.

Но тогда значит еще одно соответствие между индексами это уже лишнее ну кроме того должна быть ясно что тут написано это для двухместный операция совершенно!

Даже более общее понятие чем изоморфизм это гомоморфизм.

Значит гомоморфизм это вот что такое значит картинка очень похожая вот это но отображение вот эта гамма достаточно для множеств соответствие. Между операциями остается а вот отображение всего.

Лишь однозначная в одну сторону не обязательно в обратно то есть возможно вот так значит и тогда уже вот. Это требование не только не обязательно а она как правило не выполняется значит: Что это означает это означает что ведь вот такое однозначное отображение она на самом деле ведет к некоторой потерей информации.

То есть вот в алгебре б вот эти 2 элемента. Которые отображены вадим они уже в алгебре бы неразличимой то есть как бы не 2 группы элементов склеиваются в 1 то есть происходит так сказать. Потери информации значит вот типичный пример гомоморфизма географическая карта если она достаточно точна то есть кажемо.

Зеленые пункты там склеиваются в пачке хотя ясно что это довольно значительная сложная? Довольно значительная площадь а во всем остальном это соответствие сохраняется значит единственный только. Мы вот эти две точки вот и алгебре.

Уже не различаю но вот эту же идея что можно идти одним путем а можно идти другим. Она остается той же сцену ну если продолжишь пример с географической карты это означает что нам все равно. Где мерить расстоянье либо на реальные земле либо на карте потом умножаете это на матч это результат пусть один и тот же но разумеется с некоторой точностью.

Не источники до метров но тем ни менее а это значит все тогда у нее два аргумента. Совпадут правильно на самом деле всякое моделирование реальных объектов и то есть некоторый гомоморфизм и то есть некоторое упрощение как правило.

Сколько-нибудь сложные объекты не удается как моделировать во всех их деталях скажем начиная с размеров иначе бы модель была бы не отличим от объект. Вот это значит что какие-то аспекты реального объекта упрощаются не принимается во внимание на счет происходит некоторое.

Такое склеивание то есть вот гомоморфизм это раскрыть некоторые принцип любого точного моделирования вернее неточного потому что повторяю все аспекты: Объезды никогда не какой модели а то режиме быть не могут точно в смысле формально то есть мы: Самая главная идея как изоморфизма и как так и гомоморфизма заключается в том что операции которая нам по какой-то причине не удобно делать.

В одной алгебре мы заменяем операциями в другую алгебре ну опять же случай карты. Операции на местности мы сумеем операциями на карте но прежде всего измерениями. А рядом других ну самый простенький пример из mr изоморфизма.

Это вот какой мишка ещё это можно рассматривать как простой раскрытие скобок мы так и делаем но не этом смысле это изоморфизм! А что такое hama hama это умножение на 2 иначе говоря здесь у нас алгебра скажем натурам вот м это множество натуральных. Чисел а здесь это множество четных чисел в этой алгебре.

Значит смотрите мы складываем натуральные числа а затем переходим в алгу б то есть делаем! Сумму независимо от того какой она была? Четной вот а здесь мы сразу имеем дело с чётными числами но четные числа какие каждому а мы ставим соответствие.

2 ну а операция на самом деле одна и та же что фишт обсе единственная операция. Она одна это нет значит а это множество натуральных чисел в алгебре б это множество четных чисел на давайте обозначим! Через n 2 то есть элементы алгебры а это а и b любые натуральные числа элементы алгебры элемент алгебра а элементы алгебры!

Бы это чётные числа отображение гамма отображает каждый элемент av2 а на сложение то же самое значит другой. Пример тоже известные школы основание не важно для любого основания от имеет место за профит: Гамма является логарифм значит в этой алгебре операция это умножение это сказать вот в алгебре а сначала делаем и умножение в алгебре.

А а потом отображаем логарифмом в.б. вот а здесь мы то есть это левая.

Часть нашего роста сначала делаем операцию а потом отображаем а здесь сначала отображаем? То есть сначала делаем логарифм а потом делаем операцию вот тут операцию же разные эта операция: Умножения а это операторов login ну и хорошо известно вот как раз пример когда действительно удобства разные.

Проще складывать логарифмы чем перемножать большой фильм нет вот здесь сначала мы умножаем потом героем логарифм! Это путь вниз направо а этот путь на право вниз то есть начало отображаем логарифмом а потом.

Там уже складываем чем в а операции является умножение. А в б операцию сложения вот значит в гомоморфизмы повторяю происходит огрубление и таскать точность не в при потере информации разумеется. Имеется в виду но скажу когда мы говорим что от москвы до санкт-петербурга 650 километров то понятное дело что между разными точками москвы.

И петербурга это расстояние размер но в такого рода.

Выражениях это уже не учитываете все называется с точностью до гомоморфизма. С точностью 9 огрубление когда все точки этих городов склеиваются фактически во дни так теперь поговорим о некоторых конкретных алгебра многие. Из которых нам свое время понадобится значит первая из них это полу группа алгебра называется полу группой если она обладает одной бинарные операции.

Эта операция ассоциативно сможешь сказать короче полу группа это алгебра с одной ассоциативную операцию эту операцию обычного.

Же определяли как умножение это такое таскать. Абстрактный уровень потому что это множество 8 не обязательно множеству чисел ну например если мы возьмем множество натуральных чисел в качестве. Операции возьмем сложения это будет полу группа потому что сложение замкнуты здесь сумма любых натуральных чисел.

Опять натуральное число как все в порядке сложение associati: Ну же 1 коммутативное хотя для группы этой мирзы вот например возьмем множество числовых матриц и рассмотрим там операцию.

Умножения наверное все обвинения алгебре 9 не дошли дойдете вот то это тоже будет полу группа с одной операции но при этом вот эта операция. Уже будет не коммутативной далее значит полу группе возможен элемент который называется:

Единицей полу группы и обозначается буквой е единица значит не не следует смешивать вот этот термин? С числовой единицей и примеры мы сейчас увидим а что это за элемент если он есть не на.

Всякой полу группе их единицы если он есть он должен обладать.

Под этим свойством он для любого элемента а подразумевает все здесь операция для любого элемента а операция с единицы. Ничего не меняет ну если еде и эта идея числовая единица а это . это обычное умножение по всем.

Понятно что это так а вот например если в качестве полу группы мы возьмем вот полу группу которая только что называл.

Для операции где м это множество натуральных чисел операция сложения то единицей будет 0 почему! Ну потому что 0 + a равняется a + 0 равняется что привыкайте постепенно по некоторым такому.

Об абстрактном мышц соответственно то есть видите вот это умножение и сложение единица. И вот этот 0 как бы одно и то же вернее это конкретная реализация вот этой абстрактной. Формы это как бы любая полу группа это уже конкретная полу группа это любая операция от конкретной оператор сложения это любая единица.

Этот конкретный единицы 0 по числовой 0 является алгебраической единицы так сказать вот никаких парадоксов тут нет это просто. Вопрос употребление слов вот ну а если в качестве полу группами возьмем тоже множество натуральных чисел и операцию умножения то там единицы.

Будет числовая единиц и шпалу группа которая содержит единицу называется моноидам но и тгу следующий очень распространенная алгебраическая. Структура это группа значит группа это моноид в котором до каждого элемента существует обратный ему элемент то есть для любого.

А существует такой элемент который мы обозначим а минус первой степени что их произведения даёт единицу повторяю группа это моноид котором до каждого элемента.

Существует обратный ему элемент который обозначается вот таким образом и для которых имеет место вот эти. Два раньше так ну например пусть у нас есть моноид где носителем является множество целых чисел значит операции является сложения:

Ошивается для элемента а какой элемент будет обратным как вы думаете лишь единицы у нас здесь является ноль значит. Обратном будет минус а так вот обратите внимание на некоторую тонкость который тут возникает мы привыкли и в этом нет ничего. Неправильного рассматривать сложение вычитание как две разных операций на провода обратные группу или нет но как видите здесь вот в этом определении нет вычитание.

Как операции есть числа положительные отрицает не они вкладывают вот а в группе где умножение.

Где основной операцией является умножении очень понятно что там для любого а обратным элементы будет единица. Деленное на ну числовые примеры полу групп и групп приводить довольно просто на самом деле таня стран смысле не интересно нет это. Интересно как пример и вот а не нетривиальные менее привычнее примеры.

Это некоторые нечисловые примера давайте рассмотрим например вот такую архипов уж пусть у нас есть квадрат в про мелированными вершине 0123? Значит и будем рассматривать его повороте значит и все возможные повороты на 90 градусов воротам 90 г значит это понятно что у нас возможны. Четыре положения квадрата 3 если по часовой стрелке.

Следующее это будет у нас 3012 потом 2301 и наконец 1230 значит вот эти 4 объекта и будем считать носителям наши алгебра. Вот а операция будем считать поворот на 90 градусов по часовой стрелке вот это понятно что значит это унарная операция то есть это не подгруппа. И то есть нет той алгебра с ударной.

Операция которая поворачивает не 90 градусов каждый кадр а значит заметим себе что это алгебра.

Дополнительные материалы

Поделиться или сохранить к себе:
Моя Мотивация